Exposés

Lundi 23 août

• Baptiste Peaucelle — Représentations galoisiennes modulaires irréductibles
  Les formes modulaires sont des objets à cheval entre l’analyse et l’arithmétique. À toute forme modulaire $f$, on peut associer une famille de représentations galoisiennes modulo-$\ell$, $(\overline{\rho}_{f,\lambda}:\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{GL}_{2}(\mathbb{F}_{\lambda}))_{\lambda}$, où $\lambda$ est un idéal premier dans un certain corps de nombre. Un théorème dû à Ribet assure que ces représentations sont irréductibles pour tous les idéaux premiers $\lambda$, sauf un nombre fini. Dans cet exposé, je reviendrai sur les notions de forme modulaire et de leur représentations galoisiennes associées. Nous verrons ensuite comment on peut borner l'ensemble des idéaux premiers réductibles de manière explicite en fonction de la forme modulaire $f$.
• Ndeye Coumba Sarr —Groupes profinis presqu'amalgamés
  Bass-Serre theory was initiated in the 1970 by J.P Serre and aims to characterize the properties of certain groups (freeness or the fact of being an amalgam of groups) by making them act on trees. One of the fundamental results of this theory states that a group is free if and only if it acts freely on a tree. In 2011, B. Deschamps and I. Suarez introduced a profinite version of this result and laid the foundations of a profinite Bass-Serre theory. More precisely they have been interested in an analogue for profinite groups of the following result of Serre: an abstract group is free if and only if it acts freely on a tree. In this talk we will first introduce the Deschamp-Suarez theory of prographs, then we will give a profinite analogue of Serre's combinatorial caracterisation of amalgamted groups. This will lead us to consider the notion of almost amalgamated profinite groups i.e. which contain a dense amalgamated abstract subgroup. We will finish with an illustration of this result in Galois theory : we will describe the absolute Galois group of $R((t))$ (isomorphic to $\widehat {D_{p^\infty}} = \mathbb Z_p \rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z$) by using the arithmetic of this field.

Mercredi 25 août

• Sarah Dijols — Représentations du groupe p-adique G₂ distinguées par SO(4)
• Trieu Thu Ha — Mahler measure of exact polynomials in three variables.

Jeudi 26 août

• Julien Koperecz — Corps triquadratiques p-rationnels
• Rubén Muñoz–Bertrand — Structure du complexe de de Rham–Witt surconvergent

Vendredi 27 août

• William Dallaporta — Paramétrage du groupe de Picard par les formes quadratiques
• Théo Untrau - Questions d'équirépartition de sommes exponentielles incomplètes
  On s'intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d'un nombre premier p. Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement par un sous-groupe d'ordre d fixé. Lorsque p tend vers l'infini en respectant certaines conditions de congruences qui assurent l'existence d'un unique sous-groupe d'ordre d, on démontre que nos familles de sommes exponentielles s'équirépartissent dans certaines régions du plan complexe. Ces régions sont décrites comme l'image d'un tore de dimension φ(d) (où φ est l'indicatrice d'Euler) par un polynôme de Laurent relativement explicite.
  
• Camille Amoyal — Conjecture de Lang sur le nombre de points intégraux d’une courbe elliptique
  Étant donné un modèle quasi-minimal d’une courbe elliptique $E$ définie sur un corps de nombre $K$, $S$ un ensemble fini de places de $K$ contenant les places archimédiennes et $\mathcal O_S$ l’anneau des $S$-entiers de $K$, une conjecture de Lang ([1], page 140) prédit la borne $E(O_S) \leq C(K)^{1+\#S+rg(E(K))$, où $C(K)$ est une constante ne dépendant que de K. J. Silverman [2] a en particulier démontré cette borne pour l’ensemble des courbes elliptiques de j-invariant intégral, puis Hindry et Silverman [3] ont également démontré cette borne pour l’ensemble des courbes elliptiques de ratio de Szpiro borné (ou plus fortement en admettant la conjecture de Szpiro). Les récents progrès concernant la conjecture de Mordell-Lang uniforme dûs à Dimitrov, Gao, Habegger et Kühne laissent peut-être entrevoir une possibilité de progrès dans la conjecture de Lang sur le nombre de points intégraux d’une courbe elliptique. Cet exposé propose de donner un panorama de ces questions.